【题目】在平行四边形ABCD中,AB=1,AD,且∠BAD=45°,以BD为折线,把△ABD折起,使AB⊥DC,连接AC,得到三棱锥A﹣BCD.
(1)求证:平面ABD⊥平面BCD;
(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)60°.
【解析】
(1)通过证明AB⊥平面BCD,得面面垂直;
(2)取BC中点E,过点E作EF⊥AC交AC于点F,连接DE,DF,EF,证明∠DFE为所求二面角,即可计算求解.
(1)证明:∵AB=1,AD,且∠BAD=45°,
∴BD=1,则AD2=AB2+BD2,即AB⊥BD,
又AB⊥DC,BD∩DC=D,且都在平面BCD内,
∴AB⊥平面BCD,
∵AB在平面ABD内,
∴平面ABD⊥平面BCD;
(2)取BC中点E,过点E作EF⊥AC交AC于点F,连接DE,DF,EF,
∵BD=CD=1,
∴DE⊥BC,
∵AB⊥平面BCD,DE平面BCD,
∴AB⊥DE,
∵AB∩BC=B,且都在平面ABC内,
∴DE⊥平面ABC,
∵AC平面ABC,
∴AC⊥DE,
又EF⊥AC,DE∩EF=E,且都在平面DEF内,
∴AC⊥平面DEF,
∴∠DFE为所求二面角,
在Rt△DEF中,∠DEF=90°,,,
∴,
∴∠DFE=60°,即二面角B﹣AC﹣D的大小为60°.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1的普通方程为,曲线C2参数方程为为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求C1的参数方程和的直角坐标方程;
(2)已知P是C2上参数对应的点,Q为C1上的点,求PQ中点M到直线的距离取得最大值时,点Q的直角坐标.
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【题目】已知函数,,(其中是自然对数的底数).
(1)若,求函数在上的最大值.
(2)若,关于x的方程有且仅有一个根,求实数k的取值范围.
(3)若对任意的、,,不等式都成立,求实数a的取值范围.
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【题目】数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),且AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为( )
A.x+2y+3=0B.2x+y+3=0C.x﹣2y+3=0D.2x﹣y+3=0
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【题目】在菱形中,,为线段的中点(如图1).将沿折起到的位置,使得平面平面,为线段的中点(如图2).
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)当四棱锥的体积为时,求的值.
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【题目】矩形ABCD中,,沿对角线AC将三角形ADC折起,得到四面体,四面体 外接球表面积为,当四面体的体积取最大值时,四面体的表面积为( )
A.B.C.D.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数,).以为极点,轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知曲线与曲线交于两点,且,求实数的值.
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