Question

【题目】定义区间的长度均为，多个互无交集的区间的并集长度为各区间长度之和，例如的长度。用表示不超过的最大整数，例如。记。设，，若用、和分别表示不等式、方程和不等式解集区间的长度，则当时，____________.

Answer 1

【答案】2016

【解析】

先化简f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＞g（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，2018]时，从而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2018时的解集的长度；对于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）进行类似的讨论即可．

f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1，

（i）由f（x）＞g（x），得到[x]x﹣[x]2＞x﹣1，即（[x]﹣1）x＞[x]2﹣1，

当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，此时x∈[0，1）；

当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＜0，此时x∈；

当x∈[2，2018]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＞[x]+1，此时x∈；

综上，x∈[0，1），即d1=1；

（ii）由f（x）=g（x），得到[x]x﹣[x]2=x﹣1，即（[x]﹣1）x=[x]2﹣1，

当x∈[0，1）时，[x]=0，上式化为x=1，此时x∈，

当x∈[1，2）时，[x]=1，上式化为0=0，此时x∈[1，2），

当x∈[2，2018]时，可得[x]﹣1＞0，上式可化为x=[x]+1，此时x∈，

∴f（x）=g（x）在0≤x≤2018的解集为[1，2），即d2=1；

（iii）由f（x）＜g（x），得到[x]x﹣[x]2＜x﹣1，即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1，

当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，此时x∈，

当x∈[1，2）时，[x]=1，上式化为0＞0，此时x∈，

当x∈[2，2018]时，[x]﹣1＞0，上式化为x＜[x]+1，此时x∈[2，2018]，

∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2018时的解集为[2，2018]，即d3=2016，

则d1d2d3=2016，

故答案为：2016．