Question

9．设函数f（x）=ae^x+bx²（a＞0，b∈R），且f′（lna）=2lna+a²b．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若直线y=x+1是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得a，b的方程，即可解得b=1；
（Ⅱ）设切点为（m，n），求出导数，由切线方程，可得切线的斜率，得到m，n的方程，通过消元，得到m的方程，解得m，进而得到a．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=ae^x+bx²的导数为f′（x）=ae^x+2bx，
由f′（lna）=2lna+a²b，即为ae^lna+2blna=2lna+a²b，
即（b-1）（a²-2lna）=0，（由a²-2lna≥1）
解得b=1；
（Ⅱ）由于f′（x）=ae^x+2x，
设切点为（m，n），则切线的斜率为ae^m+2m，
由直线y=x+1是函数y=f（x）图象的一条切线，
则ae^m+2m=1，n=1+m，n=ae^m+m²，
即有3m=m²，
解得m=0或3，
当m=0时，可得a=1，
当m=3时，ae³=-5，解得a＜0舍去．
即有a=1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键．