Question

19．已知函数f（x）=x²+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（0）=f（1），求出m的值，再根据方程x=f（x）有两个相等的实数根，得到判别式△=0，求出n的值，从而求出函数的解析式；
（Ⅱ）根据二次函数的性质，求出其对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+mx+n，且f（0）=f（1），
∴n=1+m+n．…（1分）
∴m=-1．…（2分）
∴f（x）=x²-x+n．…（3分）
∵方程x=f（x）有两个相等的实数根，
∴方程x=x²-x+n有两个相等的实数根．
即方程x²-2x+n=0有两个相等的实数根．…（4分）
∴（-2）²-4n=0．…（5分）
∴n=1．…（6分）
∴f（x）=x²-x+1．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）=x²-x+1．
此函数的图象是开口向上，对称轴为$x=\frac{1}{2}$的抛物线．…（8分）
∴当$x=\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值$f（\frac{1}{2}）$．…（9分）
而$f（\frac{1}{2}）={（\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{4}$，f（0）=1，f（3）=3²-3+1=7．…（11分）
∴当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域是$[\frac{3}{4}，7]$．…（12分）

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性、值域问题，是一道基础题．