Question

已知正四棱锥S-ABCD中，SA=3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：空间位置关系与距离

分析：设底面边长为a，则高h=

SA2-( 2 a 2 )2

=

9- a2 2

，体积V=

1

3

a²h=

1

3

9a4- 1 2 a6

，设y=9a⁴-

1

2

a⁶，则y′=36a³-3a⁵，由此利用导数性质能求出a=2

3

时，体积最大，此时高h=

3

．

解答： 解：设底面边长为a，
则高h=

SA2-( 2 a 2 )2

=

9- a2 2

，
所以体积V=

1

3

a²h=

1

3

9a4- 1 2 a6

，
设y=9a⁴-

1

2

a⁶，则y′=36a³-3a⁵，
当y取最值时，y′=36a³-3a⁵=0，解得a=0或a=2

3

，
故当a=2

3

时，体积最大，此时高h=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查正四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．