Question

【题目】（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以为斜边的等腰直角三角形构成，其中为的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道，按实际需要，四边形的两个顶点分别在线段上，另外两个顶点在半圆上， ，且间的距离为1km．设四边形的周长为km．

（1）若分别为的中点，求长；

（2）求周长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）求长，就是求圆中弦长，关键求出圆心到弦所在直线距离：因为分别为的中点，所以圆心到直线CD距离为半径的一半，即，又间的距离为1km，所以圆心到弦所在直线距离为，因此

（2）求四边形的周长，就是要表示出四边长度，如何取自变量是解决问题的关键，设角是一个较好的方法，如设，其中M为AB中点，则，，，再根据基本不等式其周长最值

试题解析：（1）解：连结并延长分别交于，连结，

∵分别为的中点，，∴，

为等腰直角三角形，为斜边，，

．∵，∴． 3分

在中，，∴，

∴． 6分

（2）解法１ 设，．

在中，，∴，．

∵，∴，

∴， 8分

∴ 10分

，（当或时取等号）

∴当或时，周长的最大值为． 14分

解法２ 以为原点，为轴建立平面直角坐标系．

设，，，，

∴，，． 8分

∴ 10分

，

（当，或，时取等号）

∴当，或，时，周长的最大值为． １４分