Question

【题目】（本小题满分14分）

已知抛物线的焦点为， 为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时， 为正三角形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，

（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（I）.（II）（ⅰ）直线AE过定点.（ⅱ）的面积的最小值为16.

【解析】试题分析：（I）由抛物线的定义知，

解得或（舍去）.得.抛物线C的方程为.

（II）（ⅰ）由（I）知，

设，

可得，即，直线AB的斜率为，

根据直线和直线AB平行，可设直线的方程为，

代入抛物线方程得，

整理可得，

直线AE恒过点.

注意当时，直线AE的方程为，过点，

得到结论：直线AE过定点.

（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，

得到，

设直线AE的方程为，

根据点在直线AE上，

得到，再设，直线AB的方程为，

可得，

代入抛物线方程得，

可求得， ，

应用点B到直线AE的距离为 .

从而得到三角形面积表达式，应用基本不等式得到其最小值.

试题解析：（I）由题意知

设，则FD的中点为，

因为，

由抛物线的定义知： ，

解得或（舍去）.

由，解得.

所以抛物线C的方程为.

（II）（ⅰ）由（I）知，

设，

因为，则，

由得，故，

故直线AB的斜率为，

因为直线和直线AB平行，

设直线的方程为，

代入抛物线方程得，

由题意，得.

设，则， .

当时， ，

可得直线AE的方程为，

由，

整理可得，

直线AE恒过点.

当时，直线AE的方程为，过点，

所以直线AE过定点.

（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，

所以，

设直线AE的方程为，

因为点在直线AE上，

故，

设，

直线AB的方程为，

由于，

可得，

代入抛物线方程得，

所以，

可求得， ，

所以点B到直线AE的距离为

.

则的面积，

当且仅当即时等号成立.

所以的面积的最小值为16.