Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD．
（1）求证：平面PAB⊥平面PDC
（2）在线段AB上是否存在一点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 ．若存在，求 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD=2，∴ ，

∴PA2+PD2=AD2∴PD⊥AP，

又∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴AB⊥PD，

又∵AP∩AP=A，且AP、AB平面PAB，

∴PD⊥平面PAB，

又PD平面PDC，∴平面PAB⊥平面PDC

（2）解：如图，取AD的中点O，连接OP，OF，

∵PA=PD，∴PO⊥AD．

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PO⊥平面ABCD，

而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，

又ABCD是正方形，∴OF⊥AD，

以O为原点，射线OA，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则有A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1），

若在AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 ，连接PG、DG，

设G（1，a，0）（0≤a≤2），

则 =（1，0，1）， =（﹣2，﹣a，0），

由（2）知平面PDC的一个法向量为 =（1，0，﹣1），

设平面PGD的法向量为 =（x，y，z）．

则 ，即 ，．

令y=﹣2，得 =（a，﹣2，﹣a），

∴|cos＜ ， ＞|= = ，解得a= ，

∴a= ，此时 ，

∴在线段AB上存在点G（1， ，0）使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 ， ．

【解析】（1）推导出PD⊥AP，AB⊥PD，由此能证明平面PAB⊥平面PDC．（2）取AD的中点O，连接OP，OF，PO⊥AD，以O为原点，射线OA，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，由此利用向量法能求出在线段AB上存在点G（1， ，0）使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 ， ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．