Question

【题目】如图（a），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=8，AD=CD=4，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图（b）所示．

（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求几何体D﹣ABC的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在图中，可得AC=BC=4 ，从而AC2+BC2=AB2，

故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC平面ABC，

∴BC⊥平面ACD

（2）解：由（1）可知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，BC=4 ，S△ACD=8，

∴VB﹣ACD= S△ACDBC= ×8×4 = ，

由等体积性可知，几何体D﹣ABC的体积为

【解析】（1）证明AC⊥BC，利用平面与平面垂直的性质定理，证明BC⊥平面ACD．（2）由（1）可知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，求出BC，S△ACD ， 即可求解VB﹣ACD ， 由等体积性可知，求解几何体D﹣ABC的体积．