Question

已知函数f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)的图象过点（0，1），当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2

2

-1．
（1）求f（x）解析式；
（2）写出函数的单调递增区间；
（3）由f（x）的图象能否得到一个偶函数的图象，如果能，写出对应的函数解析式，不能说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据函数图象经过点（0，1）和最大值为2

2

-1，建立关于a、b的方程组，从而解出a、b的值，即可得到函数f（x）解析式；
（2）由正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到函数f（x）的单调递增区间；
（3）将f（x）的图象向左平移

π

4

个单位得到y=-1+2

2

cosx的图象，根据余弦函数为偶函数知平移所得图象对应的函数就是满足条件的一个函数，从而得到答案．

解答：解：（1）∵函数图象过点A（

π

2

，1），
∴a+

2

bsin(

π

2

+

π

4

)=a+b=1．…①
又∵当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2

2

-1．
∴a+

2

b=2

2

-1，…②
联解①②，可得a=-1、b=2，
∴函数f（x）解析式为：f(x)=-1+2

2

sin(x+

π

4

)；
（2）令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得-

3π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间是[-

3π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，（k∈Z）；
（3）将f（x）的图象的图象向左平移

π

4

个单位，
得y=f（x+

π

4

）=-1+2

2

sin[(x+

π

4

)+

π

4

]=-1+2

2

cosx的图象，
设g（x）=-1+2

2

cosx，可得g（-x）=-1+2

2

cos（-x）=-1+2

2

cosx=g（x），
∴函数g（x）是偶函数，图象关于y轴对称．
因此，f（x）的图象能得到偶函数的图象，其一个解析式为y=-1+2

2

cosx．

点评：本题给出三角函数图象满足的条件，求其解析式并研究其单调性和奇偶性．着重考查了三角函数的图象与性质、函数的单调性与奇偶性、函数图象的平移等知识，属于中档题．