Question

已知非零向量列{

an

}满足：

a1

=（x₁，y₁），

an

=（x_n，y_n）=

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n+1+y_n+1）（n≥2，n∈N^*），
（1）证明：数列{|

an

|}是等比数列；
（2）向量

an-1

与

an

的夹角；
（3）设

a1

=（1，2），将

a1

，

a2

，

a3

…

an

，…中所有与

a1

共线的向量按原来的顺序排成一列，记作

b1

，

b2

，

b3

…

bn

，…，令

OBn

=

b1

+

b2

+

b3

+…+

bn

，O为坐标原点，求点B_n的坐标．

Answer 1

考点：数列与向量的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得|

a

|=

x2+y2

≠0，|

an

|=

xn2+yn2

=

2

2

|

an-1

|，从而

| an |

| an-1 |

=

2

2

，由此能证明{|

an

|}是以|

a1

|为首项，

2

2

为公比的等比数列．
（2）设

an

与

an-1

的夹角为θ，

an

•

an-1

=x_nx_n-1+y_ny_n-1=

| an-1 |2

2

，从而cosθ=

| an-1 |2 2

2 2 | an-1 |2

=

2

2

，由此能求出向量

an-1

与

an

的夹角为

π

4

．
（3）由（2）知相邻两向量夹角为

π

4

，每相隔3个向量的两向量必共线并方向相反，即

bn

=

a4n-3

，设

b2

=λ

b1

，由（1）知λ=-

| a5 |

| a1 |

=-（

2

2

）⁴=-

1

4

．由此能求出

OBn

．

解答： （1）证明：∵

a1

≠

0

，∴|

a

|=

x2+y2

≠0，
∵|

an

|=

xn2+yn2

=

( xn-1+yn-1 2 )2+( xn-1-yn-1 2 )2

=

2xn-12+2yn-12 4

=

2

2

xn-12+yn-12

=

2

2

|

an-1

|，
∴

| an |

| an-1 |

=

2

2

，
∴{|

an

|}是以|

a1

|为首项，

2

2

为公比的等比数列．
（2）解：设

an

与

an-1

的夹角为θ，
∴

an

•

an-1

=x_nx_n-1+y_ny_n-1
=

xn-1-yn-1

2

xn-1+

xn-1+yn-1

2

yn-1
=

xn-12+yn-12

2

=

| an-1 |2

2

，
∴cosθ=

| an-1 |2 2

2 2 | an-1 |2

=

2

2

，
∴θ=

π

4

，即
向量

an-1

与

an

的夹角为

π

4

．
（3）解：由（2）知相邻两向量夹角为

π

4

，
∴每相隔3个向量的两向量必共线并方向相反，即

bn

=

a4n-3

，
设

b2

=λ

b1

，由（1）知λ=-

| a5 |

| a1 |

=-（

2

2

）⁴=-

1

4

．
∴

bn

=

a1

（-

1

4

）^n-1=（-

1

4

）^n-1（1，2），
∴

OBn

=

b1

+

b2

+

b3

+…+

bn

=(

4

5

[1-(-

1

4

)n]，

8

5

[1-(-

1

4

)n])．

点评：本题考查数列{|

an

|}是等比数列的证明，考查向量

an-1

与

an

的夹角的求示，考查点B_n的坐标的求法，解题时要认真审题，注意向量和数列知识的综合运用．