Question

在平面直角坐标中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标第．设椭圆的长轴长为10，中心为（3，0），一个焦点在直角坐标原点．
（1）求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；
（2）当椭圆的过直角坐标原点的弦的长度为

640

91

时，求弦所在直线的直角坐标方程．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程,坐标系和参数方程

分析：（1）由题意可得，c=3，a=5，b=4，进而得到椭圆的直角坐标方程，注意中心在（3，0），再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入化简即可得到极坐标方程；
（2）设椭圆的过直角坐标原点的弦的方程为：y=kx，则代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到k，进而得到直线方程．

解答： 解：（1）由于椭圆的长轴长为10，中心为（3，0），
则a=5，2c=6，则c=3，
即有b²=a²-c²=16，
则椭圆方程为：

(x-3)2

25

+

y2

16

=1，
再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则有ρ²（16+9cos²θ）-96ρcosθ-256=0；
（2）设椭圆的过直角坐标原点的弦的方程为：y=kx，
则代入椭圆方程，得，16（x-3）²+25k²x²=400，
即有（16+25k²）x²-96x-256=0，设交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

96

16+25k2

，x₁x₂=-

256

16+25k2

，
由于弦长为：

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 96 16+25k2 )2+ 1024 16+25k2

=

640

91

，
解得，k=±

3

，
则弦所在直线的直角坐标方程为：y=±

3

x．

点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，由于韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．