Question

设点P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上异于顶点的任意点，作△PF₁F₂的左、右旁切圆，与x轴的切点为D，则点D（　　）

• A、在椭圆内
• B、在椭圆外
• C、在椭圆上
• D、以上都有可能

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先作出一个旁切圆（如左切圆），设圆与x轴（即线段F₂F₁的延长线）相切于点C，与线段F₂P的延长线相切于点D，与线段PF₁相切于点E，根据图形的几何特征，并利用椭圆定义，及圆的切线性质，得CF₂=a+c，从而可确定C点的位置，同理可得其它两个旁切圆与x轴相切时切点的位置．

解答： 解：如图1所示，△PF₁F₂的一个旁切圆与x轴（即线段F₂F₁的延长线）相切于点C，
与线段F₂P的延长线相切于点D，与线段PF₁相切于点E．
由椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，
由圆的切线性质，得|F₂D|=|F₂C|，|PD|=|PE|，|CF₁|=|EF₁|，
于是|F₂C|=|F₂D|=|F₂P|+|PD|=2a-|F₁P|+|PD|=2a-（|F₁P|-|PD|）
=2a-（|F₁P|-|PE|）=2a-|EF₁|=2a-CF₁=a+（a+|CF₁|）=a+c．
故切点C为椭圆的左顶点．
同理，旁切圆与x轴相切时切点的位置为椭圆的右顶点，如图2所示．
故选C．

点评：本题考查了椭圆的定义及圆的切线的性质，关键是将各线段的长度进行转化．求解时应注意以下常见结论：
（1）若P为椭圆上任意一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，则|PF₁|+|PF₂|=2a；
（2）从圆外一点M向圆引切线，设切点分别为A，B，则|MA|=|MB|；
（3）椭圆焦点到对应顶点的距离等于a-c，焦点到另一焦点对应顶点的距离等于a+c．