Question

【题目】已知函数.

(1)讨论在上的单调性；

(2)是否存在实数，使得在上的最大值为，若存在，求满足条件的的个数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当时， 在上递增；当或时， 在上递减；当且时， 在上递增；在上递减. （2）的个数为1.

【解析】试题分析：（1）先求导数，根据定义域研究导函数符号变化规律：当时，恒为正；当时，恒为负；当且时，有零点，先增后减（2）由单调性知当且时，有最值，且为，再化简方程得，最后利用导数研究函数单调性，并确定解得情况

试题解析：（1）

当时， 在上递增.

当时即或时， ， 在上递减.

当且时，令得.

令得；令得.

在上递增，在上递减.

综上，当时， 在上递增；当或时， 在上递减；

当且时， 在上递增；在上递减.

（2）易知， 在上递减，在上递减， .

，即，

设，易知为增函数，且， ，

的唯一零点在上， 存在，且的个数为1.