Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F₁，F₂，上顶点与两焦点构成的三角形为正三角形．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）过点F₂的直线与椭圆C交于A．B两点，若△F₁AB的内切圆的面积的最大值为$\frac{9π}{16}$．求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）如图所示，M（0，b），△MF₁F₂为正三角形．可得|MF₁|=2|OF₁|，即a=2c，可得椭圆离心率．
（2）由（1）可知：椭圆的方程化为：3x²+4y²=12c²．设直线AB的方程为ty=x-c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立化为：（3t²+4）y²+6tcy-9c²=0，可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$.${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$•|y₁-y₂|=$\frac{12{c}^{2}\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$．通过换元利用导数研究其单调性可得：△F₁AB的面积取得最大值3c²．另一方面可得：设△F₁AB的内切圆的半径为r，${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}r×4a$≤3c²．可得r≤$\frac{3c}{4}$，利用$π×（\frac{3c}{4}）^{2}$=$\frac{9π}{16}$，解得c即可得出．

解答 解：（1）如图所示，
M（0，b），△MF₁F₂为正三角形．
∴|MF₁|=2|OF₁|，∴a=2c，
可得椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可知：a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
∴椭圆的方程化为：3x²+4y²=12c²．
设直线AB的方程为ty=x-c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-c}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\end{array}\right.$，
化为：（3t²+4）y²+6tcy-9c²=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6tc}{3{t}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{-9{c}^{2}}{3{t}^{2}+4}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12c\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$．
∴${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×2c$×$\frac{12c\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$=$\frac{12{c}^{2}\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$．
设$\sqrt{{t}^{2}+1}$=m≥1，则t²=m²-1，∴${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{12{c}^{2}m}{3{m}^{2}+1}$=$\frac{12{c}^{2}}{3m+\frac{1}{m}}$，
令f（m）=3m+$\frac{1}{m}$，则f′（m）=3-$\frac{1}{{m}^{2}}$＞0，
∴函数f（m）在[1，+∞）上单调递增，因此m=1，t=0时，△F₁AB的面积取得最大值3c²．
设△F₁AB的内切圆的半径为r，则${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}r×4a$=4cr≤3c²．
∴r≤$\frac{3c}{4}$，
∴$π×（\frac{3c}{4}）^{2}$=$\frac{9π}{16}$，解得c=1．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正三角形的性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角形的内切圆的性质与面积，考查了推理能力与计算能力，属于难题．