Question

17．函数y=$\sqrt{1-2cosx}$的减区间为[-π+2kπ，-$\frac{π}{3}$+2kπ]（k∈Z）．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，利用余弦函数y=cosx的单调性和y=${x}^{\frac{1}{2}}$，即可判定y=$\sqrt{1-2cosx}$的减区间．

解答 解：由y=$\sqrt{1-2cosx}$得1-2cosx≥0，即cosx≤$\frac{1}{2}$，即-π+2kπ≤x≤-$\frac{π}{3}$+2kπ，或$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，
设t=1-2cosx，
∵余弦函数y=cosx在[-π+2kπ，2kπ-$\frac{π}{3}$]（k∈Z）上是增函数，在[2kπ+$\frac{π}{3}$，π+2kπ]（k∈Z）上是减函数，
且函数t=1-2cosx的单调性与余弦函数的单调性相反，
∴函数t=1-2cosx在[-π+2kπ，2kπ-$\frac{π}{3}$]，（k∈Z）上是减函数，
∵y=${x}^{\frac{1}{2}}$在[0，+∞）为增函数，
∴y=$\sqrt{1-2cosx}$的减区间为[-π+2kπ，-$\frac{π}{3}$+2kπ]（k∈Z）．
故答案为：[-π+2kπ，-$\frac{π}{3}$+2kπ]（k∈Z）．

点评 本题考查了复合函数的单调性应用，以及余弦函数的单调性问题，关键是求出函数的定义域，属于基础题．