Question

9．已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=5，a₂=9，数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n|b_n|，求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由d=a₂-a₁=4，利用等差数列通项公式即可求得数列{a_n}通项公式，则b_n=S_n-S_n-1，则b_n=-2b_n-1，由等比数列通项公式即可求得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：c_n=（4n+1）2^n-1，利用错位相减法即可求得数列{c_n}的前n项的和T_n．

解答 解：（1）由数列{a_n}为等差数列，公差d=a₂-a₁=4，
则数列{a_n}的通项公式，a_n=a₁+（n-1）d=4n+1，
由S_n=$\frac{2}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$，当n≥2时，S_n-1=$\frac{2}{3}$b_n-1+$\frac{1}{3}$，
则b_n=S_n-S_n-1=（$\frac{2}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{2}{3}$b_n-1+$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{3}$b_n-$\frac{2}{3}$b_n-1，
则b_n=-2b_n-1，
当b=1时，b₁=$\frac{2}{3}$b₁+$\frac{1}{3}$．b₁=1，
数列{b_n}以1为首项，-2为公比的等比数列，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=（-2）^n-1；
（Ⅱ）c_n=a_n|b_n|=（4n+1）2^n-1，
则数列{c_n}的前n项的和T_n，T_n=5•1+9•2+13•2²+…+（4n+1）•2^n-1，
2T_n=5•2+9•2²+13•2³+…+（4n+1）•2ⁿ，
两式相减可得，-T_n=5+4（2+2²+2³+…+2^n-1）-（4n+1）•2ⁿ，
=5+4×$\frac{2-{2}^{n}}{1-2}$-（4n+1）•2ⁿ，
=3•2ⁿ-3-4n•2ⁿ，
∴T_n=（4n-3）2ⁿ+3，
∴数列{c_n}的前n项的和T_n=（4n-3）2ⁿ+3．

点评 本题考查等差数列及等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．