Question

17．已知函数f（x）=lnx-a（x-1），a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤$\frac{lnx}{x+1}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）先求出切线的斜率k=f′（1）和f（1），代入直线的点斜式方程化简即可；
（II）作差得f（x）-$\frac{lnx}{x+1}$=$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$，令g（x）=xlnx-a（x²-1）（x≥1），依次计算g′（x），g″（x），讨论a的范围判断g（x）的单调性，验证结论是否成立即可得出a的范围．

解答 解：（I）∵f（x）=lnx-a（x-1），∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∴f（1）=0，f′（1）=1-a，
∴函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程为y=（1-a）（x-1）．
（II）f（x）-$\frac{lnx}{x+1}$=$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$，令g（x）=xlnx-a（x²-1）（x≥1），
则g′（x）=lnx+1-2ax，g″（x）=$\frac{1}{x}-2a$=$\frac{1-2ax}{x}$，
①若a≤0，则g″（x）＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）=0，∴$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$≥0，
即f（x）-$\frac{lnx}{x+1}$≥0，不符合题意．
②若0$＜a＜\frac{1}{2}$，则当x∈（1，$\frac{1}{2a}$）时，g″（x）＞0，
∴g′（x）在[1，$\frac{1}{2a}$）上单调递增，
∴g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）=0，∴$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$≥0，
即f（x）-$\frac{lnx}{x+1}$≥0，不符合题意．
③若a$≥\frac{1}{2}$，则当x∈[1，+∞）上时，g″（x）≤0，
∴g′（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，∴$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$≤0，
即f（x）≤$\frac{lnx}{x+1}$，符合题意．
综上所述，a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性的关系，分类讨论思想，属于中档题．