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已知函数,函数g(x)的导函数,且
(1)求的极值;
(2)若,使得成立,试求实数m的取值范围:
(3)当a=0时,对于,求证:

(1)当a≥0时,没有极值;当a<0时,取得极大值=;(2);(3)见解析.

解析试题分析:(1)求函数定义域、导数,按照a≥0,a<0两种情况讨论的符号变化,由极值定义可求得的极值;(2)先由条件求出,存在x∈(0,+∞),使得成立,即m<成立.令=,x∈(0,+∞),则问题等价于m<,利用基本不等式可判定导数研究的正负时,从而判定出函数的单调性,从而可求得;(3)当a=0时,先将具体化为,令==,利用导数通过研究的单调性、极值,从而得出函数的图像性质,求出的最小值,只要证明最小值大于零即证明了.
试题解析: (1)函数的定义域为(0,+∞),=>0).
(i)当a≥0时,>0,
函数在(0,+∞)上单调递增,故没有极值;
(ii)当a<0时,==
当x∈(0,﹣)时,>0;当x∈(﹣,+∞)时,<0,
∴当x=﹣时,取得极大值=
(2)∵函数的导函数=
=+c(其中c为常数)
,得(1+c)e=e,故c=0,
=
若存在x∈(0,+∞),使得成立,即m<成立.
=,x∈(0,+∞),则问题等价于m<
=1﹣
∵当x∈(0,+∞)时,>1,=
>1,故<0,
在(0,+∞)上单调递减,
=3,故m<3.
(3)解:当a=0时,=lnx,
=﹣2=

练习册系列答案
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已知函数.
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已知.
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