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已知函数g(x)="aln" x·f(x)=x3 +x2+bx
(1)若f(x)在区间[1,2]上不是单调函数,求实数b的范围;
(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当b=0时,设F(x)=,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.

(1);(2);(3)详见解析.

解析试题分析:(1)先求函数的导数,因为在区间不单调,所以导函数的值不恒大于或小于0,即函数的最大值大于0,函数的最小值小于0,即不单调;
(2)根据条件化简得,,求出 的最小值即可确定的范围,首先对函数求导,确定单调性,求出最值;
(3)先假设曲线上存在两点满足题意,设出,则,从而由是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形可建立关系式,分情况求解即可.
试题解析:(1)由
   因在区间[1,2]上不是单调函数
所以在[1,2]上最大值大于0,最小值小于0

     ∴              4分
(2)由,得
,且等号不能同时取,,即 
恒成立,即          6分
,求导得,
时,,从而
上为增函数,
.                      8分
(3)由条件,
假设曲线上存在两点满足题意,则只能在轴两侧,  9分
不妨设,则,且
是以为直角顶点的直角三角形,
  (*),
是否存在等价于方程时是否有解.
①若时,方程,化简得,此方程无解;       12分
②若时,方程,即

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