已知函数,其中a,b∈R
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)当a>0,且a为常数时,若函数h(x)=x[g(x)+1]对任意的x1>x2≥4,总有成立,试用a表示出b的取值范围;
(3)当时,若对x∈[0,+∞)恒成立,求a的最小值.
(1);(2)时,,时,;(3)1
解析试题分析:(1)利用导数判断出函数的单调性,即可求出的最小值;(2)解决本题的关键是由“对任意的x1>x2≥4,总有成立”得出“在上单调递增”,从而再次转化为导函数大于0的问题求解;(3)通过构造函数,转化为对恒成立,于是转化为求在上的最大值问题求解.解题过程中要注意对参数的合理分类讨论.
试题解析:(1)∵,令,得
∴在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增
∴在处取得最小值
即; 4分
(2)由题意,得在上单调递增
∴在上恒成立
∴在上恒成立 5分
构造函数
则
∴F(x)在上单调递减,在上单调递增
(i)当,即时,F(x)在上单调递减,在上单调递增
∴
∴,从而 7分
(ii)当,即时,F(x)在(4,+∞)上单调递增
,从而 8分
综上,当时,,时,; 9分
(3)当时,构造函数
由题意,有对恒成立
∵
(i)当时,
∴在上单调递增
∴在上成立,与题意矛盾. 11分
(ii)当时,令
则,由于
①当时,,在上单调递减
∴,即
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为-1.
(1)求的值及函数的极值;(2)证明:当时,;
(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数g(x)="aln" x·f(x)=x3 +x2+bx
(1)若f(x)在区间[1,2]上不是单调函数,求实数b的范围;
(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当b=0时,设F(x)=,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知, ,,其中e是无理数且e="2.71828" ,.
(1)若,求的单调区间与极值;
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数a,使的最小值是?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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