Question

已知函数,.
(1)求函数的极值；(2)若恒成立,求实数的值；
(3)设有两个极值点、(),求实数的取值范围,并证明.

Answer 1

（1）；（2）；(3) 见解析。

解析试题分析：（1）先求的定义域，然后对求导，令寻找极值点，从而求出极值；（2）构造函数，又，则只需恒成立，再证在处取到最小值即可；（3）有两个极值点等价于方程在上有两个不等的正根，由此可得的取值范围，，由根与系数可知及范围为，代入上式得，利用导函数求的最小值即可。
试题解析：（1）的定义域是，.
,故当x=1时，G（x）的极小值为0.
（2）令，则，      
所以，即恒成立的必要条件是，
又，由得：．        
当时，由知，
故，即恒成立．               
（3）由，得．
有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根，
即：， 解得 ．
由，得，其中.
所以．　　　                 
设，得，
所以，即．        
考点：（1)利用导求函数的极值、最值；（2）一元二方程根的分布；（3）构造函数解决与不等式有关问题。