已知, ,,其中e是无理数且e="2.71828" ,.
(1)若,求的单调区间与极值;
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数a,使的最小值是?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
(1)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,e),的极小值为;(2)证明见解析;(3)存在实数,使得在上的最小值为-1.理由见解析.
解析试题分析:(1)将代入后对函数求导,可得,令,可解得函数的单调区间,从而判断出极值; (2) 构造函数,由知,故不等式成立;(3)假设存在实数a,使()有最小值-1,,对进行讨论,注意,当时,,无最小值;当时,,得;当时,,,得(舍去),存在实数,使得在上的最小值为-1.
解:(1)当a=1时,,, (1分)
令,得x=1.
当时,,此时单调递减; (2分)
当时,,此时单调递增. (3分)
所以的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,e),的极小值为 (4分)
(2)由(1)知在上的最小值为1.(5分)
令,,所以.(6分)
当时,,在上单调递增, (7分)
所以.
故在(1)的条件下,.(8分)
(3)假设存在实数a,使()有最小值-1.
因为, (9分)
①当时,,在上单调递增,此时无最小值; (10分)
②当时,当时,,故在(0,a)单调递减;当时,
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中a,b∈R
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)当a>0,且a为常数时,若函数h(x)=x[g(x)+1]对任意的x1>x2≥4,总有成立,试用a表示出b的取值范围;
(3)当时,若对x∈[0,+∞)恒成立,求a的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线在点处的切线与x轴平行.
(1)求k的值,并求的单调区间;
(2)设,其中为的导函数.证明:对任意.
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