已知函数(为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为-1.
(1)求的值及函数的极值;(2)证明:当时,;
(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.
(1),极小值为无极大值;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
解析试题分析:
解题思路:(1)利用导数的几何意义求,再进一步求极值;(2)构造函数,即证;
(3)结合(2)的结论,对进行分类讨论.
规律总结:这是一道典型的导函数问题,综合性较强,要求我们要有牢固的基础知识(包括函数的性质、常见解题方法、数形结合等).
试题解析:解法一:(1)由,得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.
(2)令,则.由(1)得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.
(3)①若,则.又由(2)知,当时, .所以当时, .取,当时,恒有.
②若,令,要使不等式成立,只要成立.而要使成立,则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时,恒有.
综上,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有.
解法二:(1)同解法一
(2)同解法一
(3)对任意给定的正数c,取
由(2)知,当x>0时,,所以
当时,
因此,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有.
考点:1.导数的几何意义;2.导数在研究函数中的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知关于的函数,其导函数为.记函数 在区间上的最大值为.
(1) 如果函数在处有极值,试确定的值;
(2) 若,证明对任意的,都有;
(3) 若对任意的恒成立,试求的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中a,b∈R
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)当a>0,且a为常数时,若函数h(x)=x[g(x)+1]对任意的x1>x2≥4,总有成立,试用a表示出b的取值范围;
(3)当时,若对x∈[0,+∞)恒成立,求a的最小值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com