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已知函数为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为-1.
(1)求的值及函数的极值;(2)证明:当时,
(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.

(1),极小值为无极大值;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

解析试题分析:
解题思路:(1)利用导数的几何意义求,再进一步求极值;(2)构造函数,即证
(3)结合(2)的结论,对进行分类讨论.
规律总结:这是一道典型的导函数问题,综合性较强,要求我们要有牢固的基础知识(包括函数的性质、常见解题方法、数形结合等).
试题解析:解法一:(1)由,得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.
(2)令,则.由(1)得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.
(3)①若,则.又由(2)知,当时, .所以当时, .取,当时,恒有.
②若,令,要使不等式成立,只要成立.而要使成立,则只要,只要成立.令,则.所以当时, 内单调递增.取,所以内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时,恒有.
综上,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有.
解法二:(1)同解法一
(2)同解法一
(3)对任意给定的正数c,取
由(2)知,当x>0时,,所以
时,
因此,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有.
考点:1.导数的几何意义;2.导数在研究函数中的应用.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题

(本小题满分14分)
已知函数
(I)讨论的单调性;
(II)设.当时,若对任意,存在,(),使,求实数的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

 
(1)若是函数的极大值点,求的取值范围;
(2)当时,若在上至少存在一点,使成立,求的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,若在区间上的最小值为,其中是自然对数的底数,
求实数的取值范围;

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数,函数g(x)的导函数,且
(1)求的极值;
(2)若,使得成立,试求实数m的取值范围:
(3)当a=0时,对于,求证:

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知关于的函数,其导函数为.记函数 在区间上的最大值为
(1) 如果函数处有极值,试确定的值;
(2) 若,证明对任意的,都有
(3) 若对任意的恒成立,试求的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数,其中a,b∈R
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)当a>0,且a为常数时,若函数h(x)=x[g(x)+1]对任意的x1>x2≥4,总有成立,试用a表示出b的取值范围;
(3)当时,若对x∈[0,+∞)恒成立,求a的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数.
(1)若处取得极值,求的单调递增区间;
(2)若在区间内有极大值和极小值,求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数
(1)求的极值(用含的式子表示);
(2)若的图象与轴有3个不同交点,求的取值范围.

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