Question

已知关于的函数，其导函数为．记函数 在区间上的最大值为．
(1) 如果函数在处有极值，试确定的值；
(2) 若，证明对任意的，都有；
(3) 若对任意的恒成立，试求的最大值．

Answer 1

（1），；（2）证明详见解析；（3）.

解析试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的转化能力、分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先对求导，由于在x=1处有极值，则，，列出方程组，解出b和c的值，由于得到了两组值，则需要验证看是否符合已知条件，若不符合需舍掉；第二问，可以利用二次函数图象和性质直接证明，也可以利用反证法证明出矛盾，从而得到正确结论；第三问，结合第二问的结论，可以直接得到时的情况，当时需分，，三种情况讨论，最后综合所有情况再得出结论.
试题解析：（1） ∵，由在处有极值，可得
，解得，或           2分
若，，则，此时函数没有极值； 3分
若，，则,此时当变化时，，的变化情况如下表：