Question

已知函数（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线在点处的切线与x轴平行．
(1)求k的值及的单调区间;
(2)设其中为的导函数,证明:对任意,.

Answer 1

（1）,的单调增区间是，单调递减区间是;（2）祥见解析.

解析试题分析：（1）求出函数的导函数，函数在点（1，）处的切线与x轴平行，说明，则k值可求；再求的单调区间,首先应求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数的单调区间．（2），分别研究，的单调性，可得函数的范围，即可证明结论.
试题解析：（1）由，得.
因为曲线在处的切线与轴平行，
所以，因此.
所以，
当时，，，；当时，，，.
所以的单调增区间是，单调递减区间是.
（2）证明：因为，所以.
因此，对任意，等价于.
令，则.
因此，当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以的最大值为，故.
设.因为，所以当时，，单调递增，，故当时，，即.
所以.因此对任意，.
考点：1.导数的几何意义;2.函数的单调性;3函数的最值.