Question

设函数（），其导函数为.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，，求证：.

Answer 1

（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）详见解析.

解析试题分析：（1）求单调区间是常规问题，但需注意定义域先行，步骤是：①先求定义域；②后求导数；③令结合定义域得增区间，令结合定义域得减区间，最后结果一定要用区间表示；（2）掌握好执因索果，即分析法在此题中的应用，以及与基本不等式的结合.
试题解析：（1）当时， （）
令，即：，
解得：，所以：函数的单调增区间为，
同理：单调减区间为.
（2），所以：

，
下面证明，有恒成立，
即证：成立，
，只需证明：即可，
对此：设，
而
所以：.故命题得证.
考点：1.导数的应用；2.不等式的证明方法；3.创设条件使用基本不等式.