Question

设命题p：函数f（x）=

(a+5)x+b

x+1

在（0，+∞）上是增函数；命题q：方程x²+

-a

x+b-2=0有两个不相等的负实数根，若p∧q是真命题．
（1）求点P（a，b）的轨迹图形的面积；
（2）求a+5b的取值范围．

Answer 1

考点：简单线性规划,利用导数研究函数的单调性,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据复合命题之间的关系建立条件关系，作出对应的图象即可求点P（a，b）的轨迹图形的面积；
（2）利用线性规划的知识即可求a+5b的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

(a+5)x+b

x+1

，f′（x）=

a+5-b

(x+1)2

，
∴p真?x∈（0，+∞）时，

a+5-b

(x+1)2

＞0?a-b+5＞0，（2′）
∵方程x²+

-a

x+b-2=0有两个不相等的负实数根?

- -a ＜0 b-2＞0 ( -a )2-4b+8＞0

?

a＜0 b-2＞0 a+4b-8＜0

，即q真?

a＜0 b-2＞0 a+4b-8＜0

；
若p∧q是真命题．则p真q真，∴

a＜0 ，&b＞2 a-b+5＞0 a+4b-8＜0

点P（a，b）的轨迹图形如图，△ABC 的内部；
由边界可得A（0，2），B（-3，2），C（-

12

5

，

13

5

）
∴△ABC的面积S=

1

2

×3×（

13

5

-2）=

9

10

，即点P（a，b）的轨迹图形的面积为

9

10

；
（2）设a+5b=z，直线a+5b=z过B点时，z=-3+5×2=7，直线a+5b=z过C点时，
z=-

12

5

+5×

13

5

=

53

5

，
∴a+5b的取值范围是（7，

53

5

）

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．