Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为

1. A.
   a＜或a＞2
2. B.
   ＜a＜2
3. C.
   a＜2
4. D.
   a＞

Answer 1

B
分析：先利用已知f（x）是定义在R上的偶函数求出在区间[0，2]上的解析式，再利用周期性f（x）=f（x+4）求出函数f（x）在区间[2，4]上的解析式，然后在画出图象，进而求出a的取值范围．
解答：设x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]，∴f（-x）==2^x-1，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴当x∈[2，4]时，（x-4）∈[-2，0]，∴f（x）=f（x-4）=；
及当x∈[4，6]时，（x-4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，
∴函数y=f（x）与函数y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上恰有三个交点，
通过画图可知：恰有三个交点的条件是解得．
因此所求的a的取值范围为．
故选B．
点评：本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数的交点及方程的根，熟练掌握函数的性质及数形结合是解决问题的关键．