Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，点M关于椭圆C上任意一动点的对称点为N，则|AN|+|BN|=20．

Answer 1

分析 根据已知条件，作出图形，MN的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为2a即可求出|AN|+|BN|．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，a=5，b=4，c=3
设MN的中点为Q，椭圆C的左右焦点分别为F₁，F₂，
如图，连接QF₁，QF₂，
∵F₁是MA的中点，Q是MN的中点，
∴F₁Q是△MAN的中位线；
丨QF₁丨=$\frac{1}{2}$丨AN丨，
同理：丨QF₂丨=$\frac{1}{2}$丨NB丨，
∵Q在椭圆C上，
∴|QF₁|+|QF₂|=2a=10，
∴|AN|+|BN|=2（|QF₁|+|QF₂|）=20．
故答案为20．

点评 本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，三角形的中位线定理，属于中档题．