Question

如图，设F（-c，0）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，直线l：x=-

a2

c

与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A，B．
①证明：∠AFM=∠BFN；
②求△ABF面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出a=4，e=

1

2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFN=0；当AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得（3m²+4）y²-48my+144=0，由韦达定理结合已知条件能推导出k_AF+k_BF=0，从而证明对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．
②法一：由S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

，利用均值定理能求出△ABF面积的最大值．
②法二：分别求出|AB|和点F到直线AB的距离d，由此利用三角形面积公式和均值定理能求出△ABF面积的最大值．

解答： （1）解：∵F（-c，0）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，
直线l：x=-

a2

c

与x轴交于P点，
MN为椭圆的长轴，|MN|=8，∴a=4，…（1分）
又∵|PM|=2|MF|，∴e=

1

2

，…（2分）
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1…（3分）
（2）①证明：当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFN=0，满足题意；…（4分）
当AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my-8，
代入椭圆方程整理得（3m²+4）y²-48my+144=0．…（5分）
△=576（m²-4），y_A+y_B=

48m

3m2+4

，y_Ay_B=

144

3m2+4

．
则kAF+kBF=

yA

xA+2

+

yB

xB+2

=

yA

myA-6

+

yB

myB-6

=

yA(myB-6)+yB(myA-6)

(myA-6)(myB-6)

=

2myAyB-6(yA+yB)

(myA-6)(myB-6)

，
而2my_Ay_B-6（y_A+y_B）
=2m•

144

3m2+4

-6•

48m

3m2+4

=0，…（7分）
∴k_AF+k_BF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．…（8分）
②解法一：S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF
=

1

2

|PF|•|yB-yA|=

72 m2-4

3m2+4

，…（10分）
即S_△ABF=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，…（12分）
当且仅当3

m2-4

=

16

m2-4

，
即m=±

2 21

3

时（此时适合于△＞0的条件）取到等号．
∴△ABF面积的最大值是3

3

．…（13分）
②解法二：|AB|=

1+m2

|y1-y2|=

1+m2

(y1+y2)2-4y1y2

=

24 1+m2 • m2-4

3m2+4

，
点F到直线AB的距离d=

|2-8|

1+m2

=

6

1+m2

…（10分）S=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

24 1+m2 m2-4

3m2+4

×

6

1+m2

=

72 m2-4

3m2+4

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2× 3×16

=3

3

，…（12分）
当且仅当3

m2-4

=

16

m2-4

，
即m=±

2

3

21

时取等号．
∴△ABF面积的最大值是3

3

．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两角相等的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．