Question

16．如图，椭圆x²+2y²=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）

• A． |$\frac{|BF|-1}{|AF|-1}$|
• B． |$\frac{|BF{|}^{2}-1}{|AF{|}^{2}-1}$|
• C． $\frac{|BF|+1}{|AF|+1}$
• D． $\frac{|BF{|}^{2}+1}{|AF{|}^{2}+1}$

Answer 1

分析 根据椭圆的性质，求得a、b和c的值及焦点坐标，设出A和B的坐标，将三角形的面积关系转化为$\frac{丨{x}_{2}丨}{丨{x}_{1}丨}$，根据椭圆的第二定义求得AF、BF与x₁和x₂的关系，即可求得答案．

解答 解：椭圆x²+2y²=1，a²=1，b²=$\frac{1}{2}$，c²=$\frac{3}{2}$，
焦点F（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\frac{{S}_{△BCF}}{{S}_{△ACF}}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{丨{x}_{2}丨}{丨{x}_{1}丨}$，
椭圆的右准线：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴$\frac{AF}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{1}}$=$\frac{c}{a}$，$\frac{BF}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{2}}$=$\frac{c}{a}$，
∴AF=a-$\frac{c}{a}{x}_{1}$=1-$\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{1}$，
BF=a-$\frac{c}{a}{x}_{2}$=1-$\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{1}$=1-AF，$\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{2}$=1-BF，
$\frac{丨{x}_{2}丨}{丨{x}_{1}丨}$=$\frac{丨\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{2}丨}{丨\frac{\sqrt{6}}{2}{x}_{1}丨}$=$\frac{丨1-BF丨}{丨1-AF丨}$=丨$\frac{丨BF丨-1}{丨AF丨-1}$丨，
故答案选：A．

点评 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的第二定义，三角形的面积公式，利用椭圆的定义进行转化是解决本题的关键，属于中档题．