Question

11．在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，4AB²+2BD²=1，将此平行四边形沿BD折成直二面角，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． π
• C． 2π
• D． 4π

Answer 1

分析 利用折成直二面角推出AB⊥BC，CD⊥AD．取AC的中点O，说明外接球的球心是O，求出外接球的半径，然后求解表面积．

解答 解：如图，因为平面BDC⊥平面ABD（折成直二面角），

所以AB⊥平面BDC，CD⊥平面ABD，得AB⊥BC，CD⊥AD．
取AC的中点O，则OA=OB=OC=OD．
于是外接球的球心是O，OA=$\frac{1}{2}$AC．
而AC²=AB²+BC²=$\frac{1}{2}$（4AB²+2BD²）=$\frac{1}{2}$．
所以半径OA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
于是外接球的表面积为S=4π•OA²=$\frac{π}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查几何体的外接球的表面积的求法，判断外接球的球心是解题的关键，考查计算能力．