Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）当a=

1

2

时，判断证明f（x）的单调性并求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=

1

2

时，可求得f（x），在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂．通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据增减函数的定义可判断单调性，进而可求得函数的最小值；
（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=

x2+2x+a

x

＞1等价于x²+x+a＞0，令g（x）=x²+x+a，根据单调性可求得g（x）的最小值，则最小值大于0；

解答：解：（1）当a=

1

2

时，f（x）=x+

1

2x

+2，
在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂．
则f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

2x1

+2）-（x2+

1

2x2

+2）=（x₁-x₂）(1-

1

2x1x2

)
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1-

1

2x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）的最小值为f（1）=

7

2

；
（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=

x2+2x+a

x

＞1等价于x²+x+a＞0，
而g（x）=x²+x+a=(x+

1

2

)2+a-

1

4

在[1，+∞）上递增，
∴当x=1时，g（x）_min=2+a，当且仅当2+a＞0时，恒有f（x）＞1，即实数a的取值范围为a＞-2．

点评：本题考查函数的单调性及其应用，考查恒成立问题，考查转化思想，解决（2）问的关键是对不等式化简后转化为函数的最值解决．