Question

7．设点P（x，y）经过变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x+y}\\{y′=x-2y}\end{array}\right.$（*）变为点Q（x′，y′）．
（1）点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）经过变换变为点Q₁（x′₁，y′₁），Q₂（x′₂，y′₂），试探索线段长度|P₁P₂|与|Q₁Q₂|之间的数量关系；
（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经变换（*）后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
（3）可以证明，作为点的集合，直线，射线，线段和角经过变换（*）依次仍变为直线、射线、线段和角，设点P₁，P₂，P₃不在一直线上，∠P₁P₂P₃经变换（*）变为∠Q₁Q₂Q₃，问是否总有“∠P₁P₂P₃=∠Q₁Q₂Q₃”？请简述主要理由．

Answer 1

分析 （1）利用两点之间的距离的距离公式可得：|P₁P₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，|Q₁Q₂|=$\sqrt{（{x}_{1}^{′}-{x}_{2}^{′}）^{2}+（{y}_{1}^{′}-{y}_{2}^{′}）^{2}}$=$\sqrt{5}$|P₁P₂|．
（2）假设存在这样的直线：当斜率存在时，直线方程为：y=kx+b，它上面的任一点（x，y）经变换（*）后得到的点（x′，y′）仍在该直线上．则y′=kx′+b，即x-2y=k（2x+y）+b，化为（2k-1）x+（k+2）y+b=0，与直线kx-y+b=0比较可得：$\left\{\begin{array}{l}{2k-1=k}\\{k+2=-1}\end{array}\right.$，解出即可判断出结论．当斜率不存在时，同理可以判断出结论．
（2）设点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），Q_i$（{x}_{i}^{′}，{y}_{i}^{′}）$（i=1，2，3），利用斜率计算公式与变换公式、夹角公式计算即可判断出．

解答 解：（1）|P₁P₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，|Q₁Q₂|=$\sqrt{（{x}_{1}^{′}-{x}_{2}^{′}）^{2}+（{y}_{1}^{′}-{y}_{2}^{′}）^{2}}$=$\sqrt{（2{x}_{1}+{y}_{1}-2{x}_{2}-{y}_{2}）^{2}+（{x}_{1}-2{y}_{1}-{x}_{2}+2{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，
∴|Q₁Q₂|=$\sqrt{5}$|P₁P₂|．
（2）假设存在这样的直线：当斜率存在时，直线方程为：y=kx+b，它上面的任一点（x，y）经变换（*）后得到的点（x′，y′）仍在该直线上．
则y′=kx′+b，即x-2y=k（2x+y）+b，化为（2k-1）x+（k+2）y+b=0，与直线kx-y+b=0比较可得：$\left\{\begin{array}{l}{2k-1=k}\\{k+2=-1}\end{array}\right.$，此方程无解，此时假设不成立；
当斜率不存在时，直线方程为：x=b，它上面的任一点（x，y）经变换（*）后得到的点（x′，y′）仍在该直线上．
则x′=2x+y=b，由于y的任意性可知：此时假设不成立．
综上可得：不存在这样的直线：它上面的任一点经变换（*）后得到的点仍在该直线上．
（2）设点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），Q_i$（{x}_{i}^{′}，{y}_{i}^{′}）$（i=1，2，3），
不妨假设角的两边所在直线斜率存在，${k}_{{P}_{2}{P}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=k₁，${k}_{{P}_{2}{P}_{3}}$=$\frac{{y}_{3}-{y}_{2}}{{x}_{3}-{x}_{2}}$=k₂．假设P₂P₁为始边，P₂P₃为终边．
则tan∠P₁P₂P₃=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$．
变换（*）变为∠Q₁Q₂Q₃，问是否总有“∠P₁P₂P₃=∠Q₁Q₂Q₃”？请简述主要理由．
则${k}_{{Q}_{2}{Q}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{′}-{y}_{1}^{′}}{{x}_{2}^{′}-{x}_{1}^{′}}$=$\frac{{x}_{2}-2{y}_{2}-（{x}_{1}-2{y}_{1}）}{2{x}_{2}+{y}_{2}-（2{x}_{1}+{y}_{1}）}$=$\frac{1-2{k}_{1}}{2+{k}_{1}}$，同理可得：${k}_{{Q}_{2}{Q}_{3}}$=$\frac{1-2{k}_{2}}{2+{k}_{2}}$．
tan∠Q₁Q₂Q₃=$\frac{\frac{1-2{k}_{2}}{2+{k}_{2}}-\frac{1-2{k}_{1}}{2+{k}_{1}}}{1+\frac{1-2{k}_{2}}{2+{k}_{2}}•\frac{1-2{k}_{1}}{2+{k}_{1}}}$=$\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$=-tan∠P₁P₂P₃．
因此不是总有“∠P₁P₂P₃=∠Q₁Q₂Q₃”．

点评 本题考查了两点之间的距离的距离公式、斜率计算公式、夹角公式、变换公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．