Question

18．对任意实数，若f（x+m）=$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$（m＞0）成立，
①证明f（x）是以2m为周期的函数；
②若f（x）在（-m，m]上的解析式是f（x）=x²，写出f（x）在区间（m，3m]及R上的解析式（不必写过程）

Answer 1

分析 ①根据周期函数的定义以及所给的关系式即可证明；
②根据f（x）是以2m为周期的函数，即可得到f（x）在区间（m，3m]及R上的解析式．

解答 解：①证明：f（x+2m）=$\frac{1-f（x+m）}{1+f（x+m）}$=$\frac{1-\frac{1-f（x）}{1+f（x）}}{1+\frac{1-f（x）}{1+f（x）}}$=f（x），
∴f（x）是以2m为周期的函数；
②∵x∈（m，3m]，
∴x-2m∈（-m，m]，
∴f（x-2m）=f（x-2m）²，
∴f（x）=f（x-2m）²．
∴f（x）在区间（m，3m]上的解析式为f（x）=（x-2m）²．
∴f（x）在R上的解析式为f（x）=（x-2m）²．

点评 本题考查了周期函数的定义和周期函数的应用，属于基础题．