Question

3．已知函数f（x）=|x-1|-|2x-a|
（1）当a=5时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）设不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，求整数a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=5时，不等式即|x-1|-|2x-5|≥0，移项平方，可得它的解集．
（2）根据条件可得$\left\{\begin{array}{l}{|5-1|-|10-a|≥3}\\{|6-1|-|12-a|＜3}\end{array}\right.$，由此求得a的范围，从而求得a的值．

解答 解：（1）当a=5时，不等式f（x）≥0可化为：|x-1|-|2x-5|≥0，
等价于（x-1）²≥（2x-5）²，解得2≤x≤4，
∴不等式f（x）≥0的解集为[2，4]．
（2）据题意，由不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{|5-1|-|10-a|≥3}\\{|6-1|-|12-a|＜3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{9≤a≤11}\\{a＜10或a＞14}\end{array}\right.$，∴9≤a＜10．
又∵a∈Z，∴a=9．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．