Question

11．已知数列{a_n}的各项均为整数，其前n项和为S_n．规定：若数列{a_n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r-1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a_n}为“r关联数列”．
（1）若数列{a_n}为“6关联数列”，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出S_n，并证明：对任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆；
（3）已知数列{a_n}为“r关联数列”，且a₁=-10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=a₁+a₂+…+a_m-1+a_m？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）若数列{a_n}为“6关联数列”，{a_n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，可得a₆=a₁+5，a₅=a₁+4，且$\frac{a_6}{a_5}=2$，即$\frac{{{a_1}+5}}{{{a_1}+4}}=2$，解得a₁，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）得${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤4}\\{{2^{n-4}}-7，n≥5}\end{array}}\right.$（或${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤5}\\{{2^{n-4}}-7，n≥6}\end{array}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤6}\\{{2^{n-4}}-7，n≥7}\end{array}}\right.}\right.$，可见数列{a_nS_n}的最小项为a₆S₆=-6，即可证明：对任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆；
（3）${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n-11，n≤12}\\{{2^{n-12}}，n≥13}\end{array}，{S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{21}{2}n，n≤12}\\{{2^{n-11}}-56，n≥13}\end{array}}\right.}\right.$，分类讨论，求出所有的k，m值．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为“6关联数列”，
∴{a_n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，
∴a₆=a₁+5，a₅=a₁+4，且$\frac{a_6}{a_5}=2$，即$\frac{{{a_1}+5}}{{{a_1}+4}}=2$，解得a₁=-3…（2分）
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n-4，n≤4}\\{{2^{n-5}}，n≥5}\end{array}}\right.$（或${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n-4，n≤5}\\{{2^{n-5}}，n≥6}\end{array}=\left\{{\begin{array}{l}{n-4，n≤6}\\{{2^{n-5}}，n≥7}\end{array}}\right.}\right.$）．  …（4分）
（2）由（1）得${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤4}\\{{2^{n-4}}-7，n≥5}\end{array}}\right.$（或${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤5}\\{{2^{n-4}}-7，n≥6}\end{array}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n，n≤6}\\{{2^{n-4}}-7，n≥7}\end{array}}\right.}\right.$）…（6分）
$\left\{{a_n}\right\}：-3，-2，-1，0，1，2，{2^2}，{2^3}，{2^4}，{2^5}，…$，
{S_n}：-3，-5，-6，-6，-5，-3，1，9，25，…{a_nS_n}：9，10，6，0，-5，-6，4，72，400，…，
可见数列{a_nS_n}的最小项为a₆S₆=-6，
证明：${a_n}{S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（n-4）（n-7），n≤5}\\{{2^{n-5}}（{2^{n-4}}-7），n≥6}\end{array}}\right.$，
列举法知当n≤5时，（a_nS_n）_min=a₅S₅=-5；  …（8分）
当n≥6时，${a_n}{S_n}=2•{（{2^{n-5}}）^2}-7•{2^{n-5}}（n≥6）$，设t=2^n-5，则${a_n}{S_n}=2{t^2}-7t=2{（t-\frac{7}{4}）^2}-\frac{49}{8}≥2•{2^2}-7•2=-6$．       …（10分）
（3）数列{a_n}为“r关联数列”，且a₁=-10，∵$\frac{a_r}{{{a_{r-1}}}}=2∴r=13$
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n-11，n≤12}\\{{2^{n-12}}，n≥13}\end{array}，{S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n^2}-\frac{21}{2}n，n≤12}\\{{2^{n-11}}-56，n≥13}\end{array}}\right.}\right.$…（12分）
①当k＜m≤12时，由$\frac{1}{2}{k^2}-\frac{21}{2}k=\frac{1}{2}{m^2}-\frac{21}{2}m$得（k+m）（k-m）=21（k-m）k+m=21，k，m≤12，m＞k，∴$\left\{{\begin{array}{l}{m=12}\\{k=9}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=11}\\{k=10}\end{array}}\right.$．
②当m＞k＞12时，由2^k-11-56=2^m-11-56得m=k，不存在  …（14分）
③当k≤12，m＞12时，由$\frac{1}{2}{k^2}-\frac{21}{2}k={2^{m-11}}-56$，2^m-10=k²-21k+112
当k=1时，2^m-10=92，m∉N^*；当k=2时，2^m-10=74，m∉N^*；
当k=3时，2^m-10=58，m∉N^*；当k=4时，2^m-10=44，m∉N^*；
当k=5时，2^m-10=2⁵，m=15∈N^*；当k=6时，2^m-10=22，m∉N^*；
当k=7时，2^m-10=14，m∉N^*；当k=8时，2^m-10=2³，m=13∈N^*；
当k=9时，2^m-10=2²，m=12舍去；当k=10时，2^m-10=2，m=11舍去
当k=11时，2^m-10=2，m=11舍去；当k=12时，2^m-10=2²，m=12舍去…（16分）
综上所述，∴存在$\left\{{\begin{array}{l}{m=15}\\{k=5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=13}\\{k=8}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=12}\\{k=9}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=11}\\{k=10}\end{array}}\right.$．  …（18分）

点评 本题考查数列的应用，考查新定义，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，难度大．