Question

1．已知直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于M，N两点．
（Ⅰ）当直线l的斜率为1，求线段MN的长；
（Ⅱ）记t=$\frac{1}{|FM|}+\frac{1}{|FN|}$，试求t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当直线l的斜率为1，解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去y得x²-6x+1=0，由韦达定理得x₁+x₂=6，即可求线段MN的长；
（Ⅱ）记t=$\frac{1}{|FM|}+\frac{1}{|FN|}$，分类讨论，利用韦达定理求t的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点F（1，0），准线方程为：x=-1．…（1分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由抛物线的定义知|MF|=x₁+1，|NF|=x₂+1，
于是|MN|=|MF|+|NF|=x₁+x₂+2．…（3分）
由F（1，0），所以直线l的方程为y=x-1，
解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去y得x²-6x+1=0．…（4分）
由韦达定理得x₁+x₂=6，
于是|MN|=x₁+x₂+2=8
所以，线段MN的长是8．…（6分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
当直线l的斜率不存在时，M（1，2），N（1，-2），$t=\frac{1}{|FM|}+\frac{1}{|FN|}=1$；…（7分）
当直线l的斜率不存在时，设直线l方程为y=k（x-1）
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消去x得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，△=16k²+16＞0，
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}=2+\frac{4}{k^2}$，x₁x₂=1…（9分）
$t=\frac{1}{|FM|}+\frac{1}{|FN|}=\frac{1}{{{x_1}+1}}+\frac{1}{{{x_2}+1}}=\frac{{{x_1}+{x_2}+2}}{{{x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}+1}}$=$\frac{{\frac{4}{k^2}+4}}{{1+\frac{4}{k^2}+2+1}}=1$…（11分）
所以，所求t的值为1． …（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．