Question

9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AC⊥BC，BC=CC₁，设AB₁的中点为D，BC₁∩B₁C=E．求证：
（Ⅰ）DE∥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）BC₁⊥AB₁．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线定理得DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA₁C₁C．
（2）推导出BC₁⊥B₁C，AC⊥CC₁，AC⊥BC，从而AC⊥平面BCC₁B₁，进而AC⊥BC₁，由此能证明BC₁⊥AB₁．

解答 证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁∩B₁C=E，
∴E是B₁C的中点，
∵AB₁的中点为D，∴DE∥AC，
∵AC?平面AA₁C₁C，DE?平面AA₁C₁C，
∴DE∥平面AA₁C₁C．
（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁，
∴BC₁⊥B₁C，AC⊥CC₁，又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，∴AC⊥BC₁，
∵AC∩B₁C=C，∴BC₁⊥平面ACB₁，
∴BC₁⊥AB₁．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．