Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-（x+2）^{2}，x＜0}\\{{e}^{x}+x，x≥0}\end{array}\right.$，给出如下三个命题：
①函数f（x）在（-5，-3）上单调递增；
②不等式f（x）≤1的解集为（-∞，-4]；
③函数f（x）在[-3，2]上的最大值为e²+2，最小值为2，
其中真命题的个数为1．

Answer 1

分析 由二次函数的单调性，即可判断①；讨论x＜0，x≥0，由二次不等式的解法和函数的单调性，解不等式即可得到②的正确性；讨论x∈[-3，0），[0，2]的值域，即可得到所求最值，进而判断③．

解答 解：对于①，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-（x+2）^{2}，x＜0}\\{{e}^{x}+x，x≥0}\end{array}\right.$，当x＜0时，f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，0）递减，
则f（x）在（-5，-3）递增，故①正确；
对于②，f（x）≤1，即为x＜0时，5-（x+2）²≤1，解得x≤-4；当x≥0时，e^x+x≤1，由e^x+x≥1，可得
e^x+x=1，即x=0，则原不等式的解集为{0}∪（-∞，-4]．故②错误；
对于③，当-3≤x＜0时，f（x）在x=-2处取得最大值5，当x=0时，f（0）=1，f（x）∈（1，5]；
当0≤x≤2时，f（x）递增，即有f（x）∈[1，e²+2]．综上可得f（x）的最大值为e²+2，最小值为1，故③错误．
故正确的个数为1．
故答案为：1．

点评 本题考查分段函数的单调性和值域的求法，注意运用二次函数和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．