Question

10．已知函数f（x）=1-$\sqrt{1-2x}$，g（x）=lnx，对于任意m≤$\frac{1}{2}$，都存在n∈（0，+∞），使得f（m）=g（n），则n-m的最小值为1．

Answer 1

分析 由题意可得1-$\sqrt{1-2m}$=lnn；从而可得n=${e}^{1-\sqrt{1-2m}}$；令1-$\sqrt{1-2m}$=t，t＜1；则m=t-$\frac{{t}^{2}}{2}$，从而得到y=n-m=e^t-t+$\frac{{t}^{2}}{2}$；求导求函数的最小值即可．

解答 解：由m≤$\frac{1}{2}$知，
1-$\sqrt{1-2m}$≤1；
由f（m）=g（n）可化为
1-$\sqrt{1-2m}$=lnn；
故n=${e}^{1-\sqrt{1-2m}}$；
令1-$\sqrt{1-2m}$=t，t≤1；
则m=t-$\frac{{t}^{2}}{2}$，
则y=n-m=e^t-t+$\frac{{t}^{2}}{2}$；
故y′=e^t+t-1在（-∞，1]上是增函数，
且y′=0时，t=0；
故y=n-m=e^t-t+$\frac{{t}^{2}}{2}$在t=0时有最小值，
故n-m的最小值为1；
故答案为：1．

点评 本题考查了函数恒成立问题，利用导数法以及换元法转化为求函数的最值是解决本题的关键．