Question

1．已知函数f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）与g（x）=x²+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（-∞，$\sqrt{e}$）．

Answer 1

分析 由题意可得，存在x＜0使f（x）-g（-x）=0，即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）在（-∞，0）上有零点，从而求解．

解答 解：若函数f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）与g（x）=x²+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，
则等价为f（x）=g（-x），在x＜0时，方程有解，
即x²+e^x-$\frac{1}{2}$=x²+ln（-x+a），
即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解，
令m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a），
则m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）在其定义域上是增函数，
且x→-∞时，m（x）＜0，
若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，
故e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解，
若a＞0时，
则e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解可化为
e⁰-$\frac{1}{2}$-ln（a）＞0，
即lna＜$\frac{1}{2}$，
故0＜a＜$\sqrt{e}$．
综上所述，a∈（-∞，$\sqrt{e}$）．
故答案为：（-∞，$\sqrt{e}$）．

点评 本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键．，综合性较强，难度较大．