Question

11．已知f（x）=2sinωx（cosωx+sinωx）的图象在x∈[0，1]上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{3π}{8}$，$\frac{5π}{8}$）
• B． [$\frac{3π}{8}$，$\frac{5π}{8}$）
• C． （$\frac{3π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]
• D． [$\frac{3π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]

Answer 1

分析 利用倍角公式与和差公式可得：f（x）=2sinωx（cosωx+sinωx）=$\sqrt{2}$$sin（2ωx-\frac{π}{4}）$+1，（只考虑ω＞0）．由sin（$2ωx-\frac{π}{4}$）=±1，解得x=$\frac{3π}{8ω}$+$\frac{kπ}{2ω}$∈[0，1]．对k取0，1可得：$\frac{3π}{8}$≤ω＜$\frac{7π}{8}$．由sin（$2ωx-\frac{π}{4}$）=0，同理可得：$\frac{π}{8}$≤ω＜$\frac{5π}{8}$．即可得出．

解答 解：f（x）=2sinωx（cosωx+sinωx）=sin（2ωx）+1-cos（2ωx）=$\sqrt{2}$$sin（2ωx-\frac{π}{4}）$+1，（只考虑ω＞0）．
由sin（$2ωx-\frac{π}{4}$）=±1，可得2ωx-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z．解得x=$\frac{3π}{8ω}$+$\frac{kπ}{2ω}$∈[0，1]．
当k=0时，x=$\frac{3π}{8ω}$∈[0，1]，可得$\frac{3π}{8}$≤ω；当k=1时，x=$\frac{7π}{8ω}$＞1，ω＜$\frac{7π}{8}$，∴$\frac{3π}{8}$≤ω＜$\frac{7π}{8}$．
由sin（$2ωx-\frac{π}{4}$）=0，
解得$2ωx-\frac{π}{4}$=kπ，可得：$x=\frac{π}{8ω}$+$\frac{kπ}{2ω}$（k∈Z）．
令k=0，x=$\frac{π}{8ω}$∈[0，1]，$\frac{π}{8}$≤ω；
令k=1，可得x=$\frac{5π}{8ω}$，令$\frac{5π}{8ω}$＞1，解得ω＜$\frac{5π}{8}$，∴$\frac{π}{8}$≤ω＜$\frac{5π}{8}$．
综上可得：$\frac{3π}{8}$≤ω$＜\frac{5π}{8}$．
故选：B．

点评 本题考查了倍角公式与和差公式、三角函数的图象与性质、不等式的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题