Question

1．已知实数x，y满足方程（x-2）²+y²=3．
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值和最小值；
（3）求x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{y}{x}$=k，$\frac{y}{x}$的最值，就是圆心到直线的距离等于半径时的k的值．
（2）设$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，由此能求出y-x的最大值和最小值．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，能求出x²+y²的最大值和最小值．

解答 解：（1）圆（x-2）²+y²=3，圆心（2，0），半径为r=$\sqrt{3}$，
令$\frac{y}{x}$=k，即kx-y=0，$\frac{y}{x}$的最值，就是圆心到直线的距离等于半径时的k的值，
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，解得k=±$\sqrt{3}$，∴$\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为-$\sqrt{3}$．
（2）∵圆（x-2）²+y²=3，圆心（2，0），半径为r=$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
∴y-x=$\sqrt{3}$sin$θ-\sqrt{3}cosθ$-2=$\sqrt{6}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）-2，
∴y-x的最大值是$\sqrt{6}-2$，最小值是-$\sqrt{6}$-2．
（3）x²+y²=（2+$\sqrt{3}cosθ$）²+（$\sqrt{3}$sinθ）²=4$\sqrt{3}cos$θ+7，
∴x²+y²的最大值为$4\sqrt{3}+7$，最小值为$7-4\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的参数方程的合理运用．