Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-2a_n-34，n∈N⁺
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n．

Answer 1

分析：（1）由a_n与S_n的关系可得，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1-2a_n+2a_n-1，化简得3a_n=2a_n-1+1，即a_n-1=

2

3

(an-1-1)，求出a₁结合等比数列的定义可证明；
（2）由（1）可求得a_n，代入已知条件可得S_n，代入不等式解出n，由n的范围可求得答案；

解答：（1）证明：当n≥2时，S_n-1=（n-1）-2a_n-1-34，
∴a_n=S_n-S_n-1=1-2a_n+2a_n-1，
∴3a_n=2a_n-1+1，即a_n-1=

2

3

(an-1-1)，
又当n=1时，a₁=S₁=1-2a₁-34，解得a₁=-11，则a₁-1=-12．
∴{a_n-1}是首项为-12，公比为

2

3

的等比数列；
（2）由（1）可得a_n-1=-12•(

2

3

)n-1，则a_n=1-12•(

2

3

)n-1，
∴Sn=n-2[1-12•(

2

3

)n-1]-34=n+24•(

2

3

)n-1-36，
由S_n+1＞S_n得S_n+1-S_n＞0，即[（n+1）+24•(

2

3

)n-36]-[n+24•(

2

3

)n-1-36]＞0，
化简得8•(

2

3

)n-1＜1，解得n＞1+log

2

3

1

8

≈5.13，
所以使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n=6．

点评：本题考查数列递推式求数列通项、数列求和及解不等式，考查学生综合运用知识解决问题的能力．