Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点、上顶点分别为A、B，P为线段AB上一点，F₁、F₂分别为椭圆E的左、右焦点，若

PF1

•

PF2

的最小值小于零，则椭圆E的离心率的取值范围为（　　）

• A．(0，

  5 -1

  2

  )
• B．(0，

  3- 5

  2

  )
• C．(

  5-1

  2

  ，1)
• D．(

  3- 5

  2

  ，1)

Answer 1

分析：依题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB得方程，求得若

PF1

•

PF2

的最小值，令(

PF1

•

PF2

)min＜0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．

解答：解：依题意，作图如下：
∵A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴直线AB的方程为：

x

-a

+

y

b

=1，整理得：bx-ay+ab=0，
设直线AB上的点P（x₀，y₀）
则bx₀=ay₀-ab，
∴x₀=

a

b

y₀-a，
∵

PF1

•

PF2

=（-c-x₀，-y₀）•（c-x₀，-y₀）=x02+y02-c²．
=(

a

b

y0-a)2+y02-c²，
令f（y₀）=(

a

b

y0-a)2+y02-c²，
∵f′（y₀）=2（

a

b

y₀-a）×

a

b

+2y₀，
∴由f′（y₀）=0得：y₀=

a2b

a2+b2

，于是x₀=-

ab2

a2+b2

，
此时f（y₀）取到最小值，
即(

PF1

•

PF2

)min=(

-ab2

a2+b2

)2+(

a2b

a2+b2

)2-c²，
∵(

PF1

•

PF2

)min＜0，
∴(

-ab2

a2+b2

)2+(

a2b

a2+b2

)2-c²＜0，
整理得：

a2b2

a2+b2

＜c²，又b²=a²-c²，e²=

c2

a2

，
∴e⁴-3e²+1＜0，
∴

3- 5

2

＜e²＜

3+ 5

2

，又椭圆的离心率e∈（0，1），
∴

3- 5

2

＜e²＜1，
∵

3- 5

2

=

6-2 5

4

=(

5 -1

2

)2，
∴

5 -1

2

＜e＜1．
故选C．

点评：本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查函数的最值的求法，求得(

PF1

•

PF2

)min是关键，更是难点，属于难题．