Question

设a，b是互不相等的正数，则在三个不等式①

1

a+1

＞1-a，②|a-b|+

1

a-b

≥2，③

b

a2

+

a

b2

≥

1

a

+

1

b

中恒成立的是

 

（把你认为正确的答案的序号都填上）．

Answer 1

分析：根据题意，①③采用作差变形，判断其符号，从而得出结论，对于②，简单的方法是取特殊值检验其正确性．

解答：解：①

1

a+1

-(1-a)=

1-(1+a)(1-a)

a+1

=

1-(1-a2)

a+1

=

a2

a+1

＞0，∴

1

a+1

＞1-a，∴①成立；
②令a=1，b=2，可知不等式不成立，∴②不成立；
③

b

a2

+

a

b2

-(

1

a

+

1

b

)=(

b

a2

-

1

a

)+(

a

b2

-

1

b

)=

b-a

a2

+

a-b

b2

=

(a-b)(a2-b2)

a2b2

=

(a-b)2(a+b)

a2b2

≥0，∴

b

a2

+

a

b2

≥

1

a

+

1

b

，∴③成立．

点评：本题考查用不等式的性质及作差法判断数的大小，并采用特殊值检验的方法排除错误的选项．