Question

2．在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=$\sqrt{2}$，∠ADC=45°．若AC=$\sqrt{2}$AB，则BD=2+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理，结合AC=$\sqrt{2}$AB，即可求出BD．

解答 解：设BD=x，则DC=2x，
由余弦定理可得AB=$\sqrt{{x}^{2}+2-2\sqrt{2}xcos135°}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$，
AC=$\sqrt{4{x}^{2}+2-4\sqrt{2}xcos45°}$=$\sqrt{4{x}^{2}-4x+2}$，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴$\sqrt{4{x}^{2}-4x+2}$=$\sqrt{2}×$$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$，整理可得：x²-4x-1=0，
解得：x=2+$\sqrt{5}$，或2-$\sqrt{5}$（舍去）．
故答案为：2+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．