Question

【题目】已知函数.

（1）讨论在极值点个数；

（2）证明：不等式在恒成立.

附：.

Answer 1

【答案】（1）有两个极值点（2）证明见解析；

【解析】

（1）求出函数的导函数，分，以及，判断函数的单调性，进而得出极值点情况；

（2）分，，结合零点存在性定理以及放缩思想得证．

解：（1）由，求导数，设

①在时，则

，知在递减，

存在使得

在时，，在时，

为的极大值点.

②在时，有

在上恒成立，在上递减

此时无极值.

③在时，

，在上恒成立.

在上递增，

因此存在唯一，使得

在时，，在时，

为极小值点.

综合讨论在有两个极值点.

（2）令，则

①若时，，而

所以，在递减，

所以

②若，，，

当时，，则在递增，

所以存在唯一使得，

当时，递减；当时，递增，

故

下面证明：在上恒成立

记，

则，所以在递增，

于是，

从而可知，

综合①②可知在上恒成立.